जटिल संख्येचे मूळ काढणे

या प्रकाशनात, आम्ही आपण जटिल संख्येचे मूळ कसे घेऊ शकता ते पाहू आणि भेदभाव शून्यापेक्षा कमी असलेल्या द्विघातीय समीकरणांचे निराकरण करण्यात कशी मदत करू शकते.

जटिल संख्येचे मूळ काढणे

वर्गमुळ

आपल्याला माहित आहे की, ऋण वास्तविक संख्येचे मूळ घेणे अशक्य आहे. परंतु जेव्हा जटिल संख्यांचा विचार केला जातो तेव्हा ही क्रिया केली जाऊ शकते. चला ते बाहेर काढूया.

समजा आपल्याकडे एक संख्या आहे z = -9. च्या साठी √-9 दोन मुळे आहेत:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

समीकरण सोडवून मिळवलेले परिणाम तपासू z² =-५, हे विसरत नाही i² =-५:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(२०१५i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

अशा प्रकारे, आम्ही ते सिद्ध केले आहे -२ 3 २ आय и 3i मुळे आहेत √-9.

ऋण संख्येचे मूळ सहसा असे लिहिले जाते:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i इ

n च्या सामर्थ्याला रूट

समजा आपल्याला फॉर्मची समीकरणे दिली आहेत z = ⁿ√w… त्यात आहे n मुळं (z₀, च्या₁, च्या₂,…, z_{एन-एक्सएनयूएमएक्स}), ज्याची गणना खालील सूत्र वापरून केली जाऊ शकते:

|w| कॉम्प्लेक्स नंबरचे मॉड्यूल आहे w;

φ - त्याचा युक्तिवाद

k हे एक पॅरामीटर आहे जे मूल्ये घेते: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

जटिल मुळांसह चतुर्भुज समीकरणे

ऋण संख्येचे मूळ काढल्याने uXNUMXbuXNUMXb ची नेहमीची कल्पना बदलते. जर भेदभाव करणारा (D) शून्यापेक्षा कमी आहे, नंतर तेथे वास्तविक मुळे असू शकत नाहीत, परंतु त्यांना जटिल संख्या म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते.

उदाहरण

चला समीकरण सोडवू x² – ८x + १५ = ०.

उपाय

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² - 4ac = ४१ – ५० = -९

D < 0, परंतु तरीही आम्ही नकारात्मक भेदभावाचे मूळ घेऊ शकतो:

√D =-16 = ±4i

आता आपण मुळांची गणना करू शकतो:

x_1,2 = (-b ± √D)/2अ = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

त्यामुळे समीकरण x² – ८x + १५ = ० दोन जटिल संयुग्मित मुळे आहेत:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i