एक जटिल संख्या नैसर्गिक शक्तीवर वाढवणे

या प्रकाशनात, आम्ही एक जटिल संख्या पॉवरमध्ये कशी वाढवता येईल याचा विचार करू (De Moivre सूत्र वापरून). सैद्धांतिक सामग्री अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी उदाहरणांसह आहे.

संमिश्र संख्येला घात वाढवणे

प्रथम, लक्षात ठेवा की जटिल संख्येचे सामान्य स्वरूप आहे: z = a + bi (बीजगणितीय फॉर्म).

आता आपण समस्येचे निराकरण करण्यासाठी थेट पुढे जाऊ शकतो.

चौरस क्रमांक

आम्ही समान घटकांचे उत्पादन म्हणून पदवीचे प्रतिनिधित्व करू शकतो आणि नंतर त्यांचे उत्पादन शोधू शकतो (हे लक्षात ठेवताना i² =-५).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

उदाहरण 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

तुम्ही देखील वापरू शकता, म्हणजे बेरीजचा वर्ग:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

टीप: त्याच प्रकारे, आवश्यक असल्यास, फरकाच्या वर्गाची सूत्रे, बेरीज / फरकाचा घन इत्यादी मिळवता येतात.

नववी पदवी

एक जटिल संख्या वाढवा z प्रकारची n जर ते त्रिकोणमितीय स्वरूपात दर्शविले असेल तर बरेच सोपे.

लक्षात ठेवा की, सर्वसाधारणपणे, संख्येचे नोटेशन असे दिसते: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

घातांकासाठी, आपण वापरू शकता डी मोइव्रेचे सूत्र (इंग्रजी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइव्रे यांच्या नावावरून असे नाव देण्यात आले आहे):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

सूत्र त्रिकोणमितीय स्वरूपात लिहून प्राप्त केले जाते (मॉड्यूल गुणाकार केले जातात आणि वितर्क जोडले जातात).

उदाहरण 2

एक जटिल संख्या वाढवा z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) आठव्या अंशापर्यंत.

उपाय

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).