या प्रकाशनात, आम्ही affine भूमितीच्या शास्त्रीय प्रमेयांपैकी एक विचार करू - Ceva प्रमेय, ज्याला इटालियन अभियंता जिओव्हानी सेवा यांच्या सन्मानार्थ असे नाव मिळाले. सादर केलेली सामग्री एकत्रित करण्यासाठी आम्ही समस्येचे निराकरण करण्याच्या उदाहरणाचे देखील विश्लेषण करू.
प्रमेयाचे विधान
त्रिकोण दिला ABC, ज्यामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदू विरुद्ध बाजूच्या एका बिंदूशी जोडलेला असतो.
अशा प्रकारे, आम्हाला तीन विभाग मिळतात (एए', BB' и CC'), ज्याला म्हणतात cevians.
हे विभाग एका बिंदूवर छेदतात आणि जर खालील समानता असेल तरच:
|आणि'| |नाही'| |CB'| = |BC'| |शिफ्ट'| |एबी'|
प्रमेय या स्वरूपात देखील सादर केला जाऊ शकतो (बिंदू कोणत्या प्रमाणात बाजूंना विभाजित करतात हे निर्धारित केले जाते):
Ceva च्या त्रिकोणमितीय प्रमेय
टीप: सर्व कोपरे ओरिएंटेड आहेत.
समस्येचे उदाहरण
त्रिकोण दिला ABC ठिपके सह ते', ब' и क' बाजूंना BC, AC и AB, अनुक्रमे. त्रिकोणाचे शिरोबिंदू दिलेल्या बिंदूंशी जोडलेले आहेत आणि तयार केलेले विभाग एका बिंदूतून जातात. त्याच वेळी, गुण ते' и ब' संबंधित विरुद्ध बाजूंच्या मध्यबिंदूवर घेतले. बिंदू कोणत्या प्रमाणात शोधा क' बाजू विभाजित करते AB.
उपाय
समस्येच्या परिस्थितीनुसार रेखाचित्र काढू. आमच्या सोयीसाठी, आम्ही खालील नोटेशन स्वीकारतो:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
हे फक्त सेवा प्रमेयानुसार विभागांचे गुणोत्तर तयार करणे आणि त्यात स्वीकारलेले नोटेशन बदलणे बाकी आहे:
अपूर्णांक कमी केल्यानंतर, आम्हाला मिळते:
म्हणूनच, AC' = C'B, म्हणजे बिंदू क' बाजू विभाजित करते AB अर्ध्यात.
म्हणून, आपल्या त्रिकोणामध्ये, विभाग एए', BB' и CC' मध्यवर्ती आहेत. समस्येचे निराकरण केल्यावर, आम्ही सिद्ध केले की ते एका बिंदूवर छेदतात (कोणत्याही त्रिकोणासाठी वैध).
टीप: Ceva चे प्रमेय वापरून, कोणी सिद्ध करू शकतो की त्रिकोणामध्ये एका बिंदूवर, दुभाजक किंवा उंची देखील एकमेकांना छेदतात.