स्टीवर्टचे प्रमेय: समाधानासह सूत्रीकरण आणि उदाहरण

या प्रकाशनात, आम्ही युक्लिडियन भूमितीच्या मुख्य प्रमेयांपैकी एक - स्टीवर्टचे प्रमेय विचारात घेणार आहोत, ज्याला असे नाव इंग्रजी गणितज्ञ एम. स्टीवर्ट यांच्या सन्मानार्थ मिळाले आहे, ज्यांनी हे सिद्ध केले. सादर केलेली सामग्री एकत्रित करण्यासाठी समस्येचे निराकरण करण्याच्या उदाहरणाचे आम्ही तपशीलवार विश्लेषण करू.

प्रमेयाचे विधान

डॅन त्रिकोण ABC. त्याच्या शेजारी AC मुद्दा नोंदला D, जे शीर्षस्थानी जोडलेले आहे B. आम्ही खालील नोटेशन स्वीकारतो:

• AB = a
• BC = b
• BD = p
• AD = x
• DC = आणि

या त्रिकोणासाठी, समानता सत्य आहे:

प्रमेयाचा वापर

स्टीवर्टच्या प्रमेयावरून, त्रिकोणाचे मध्यक आणि दुभाजक शोधण्यासाठी सूत्रे काढली जाऊ शकतात:

1. दुभाजकाची लांबी

द्या l_c बाजूला काढलेला दुभाजक आहे c, जे विभागांमध्ये विभागलेले आहे x и y. त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजू घेऊ a и b… या प्रकरणात:

2. मध्यम लांबी

द्या m_c मध्यक बाजूला खाली वळले आहे c. त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजू असे दर्शवू a и b… नंतर:

समस्येचे उदाहरण

त्रिकोण दिला एबीसी. बाजूला AC 9 सेमी बरोबरीचे, मुद्दा नोंदला D, जे बाजू विभाजित करते जेणेकरून AD दुप्पट लांब DC. शिरोबिंदू जोडणाऱ्या सेगमेंटची लांबी B आणि बिंदू D, 5 सेमी आहे. या प्रकरणात, त्रिकोण तयार होतो अमेरिकन समद्विभुज आहे. त्रिकोणाच्या उर्वरित बाजू शोधा ABC.

उपाय

रेखांकनाच्या स्वरूपात समस्येच्या परिस्थितीचे चित्रण करूया.

AC = AD + DC = 9 सेमी. AD यापुढे DC दोनदा, म्हणजे AD = 2DC.

यामुळे, द 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX सेमी. तर, DC = 3 सेमी, AD = 6 सेमी.

कारण त्रिकोण अमेरिकन - समद्विभुज आणि बाजू AD 6 सेमी आहे, म्हणून ते समान आहेत AB и BDIe AB = 5 सेमी.

हे फक्त शोधणे बाकी आहे BC, स्टीवर्टच्या प्रमेयातून सूत्र मिळवणे:

आम्ही या अभिव्यक्तीमध्ये ज्ञात मूल्ये बदलतो:

या मार्गाने, BC = √52 ≈ 7,21 सेमी.