रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली

या प्रकाशनात, आम्ही रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीची व्याख्या (SLAE), ती कशी दिसते, कोणते प्रकार आहेत आणि विस्तारित समवेत मॅट्रिक्स स्वरूपात कसे सादर करावे याचा विचार करू.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीची व्याख्या

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली (किंवा थोडक्यात "SLAU") ही एक प्रणाली आहे जी सामान्यतः यासारखी दिसते:

• m समीकरणांची संख्या आहे;
• n व्हेरिएबल्सची संख्या आहे.
• x₁,x₂,…, x_n - अज्ञात;
• a₁₁,₁₂…, अ_mn - अज्ञातांसाठी गुणांक;
• b₁बी₂,…, ब_m - विनामूल्य सदस्य.

गुणांक निर्देशांक (a_ij) खालीलप्रमाणे तयार केले जातात:

• i रेखीय समीकरणाची संख्या आहे;
• j गुणांक संदर्भित व्हेरिएबलची संख्या आहे.

SLAU उपाय - अशा संख्या c₁, सी₂,…, c_n , च्या सेटिंगमध्ये त्याऐवजी x₁,x₂,…, x_n, प्रणालीची सर्व समीकरणे ओळखींमध्ये बदलतील.

SLAU चे प्रकार

1. एकसंध - प्रणालीचे सर्व मुक्त सदस्य शून्य समान आहेत (b₁ = बी₂ = … = b_m = 0).

   

2. विषम - वरील अट पूर्ण न केल्यास.
3. स्क्वेअर - समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे m = n.

   

4. अधोरेखित - अज्ञातांची संख्या समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त आहे.

   

5. अधिलिखित व्हेरिएबल्सपेक्षा अधिक समीकरणे आहेत.

   

उपायांच्या संख्येवर अवलंबून, SLAE हे असू शकते:

1. संयुक्त किमान एक उपाय आहे. शिवाय, जर ते अद्वितीय असेल, तर सिस्टमला निश्चित म्हटले जाते, जर तेथे अनेक उपाय असतील तर त्याला अनिश्चित म्हणतात.

   

   वरील SLAE संयुक्त आहे, कारण किमान एक उपाय आहे: x = एक्सएनयूएमएक्स, y = 3.

2. विसंगत यंत्रणेकडे उपाय नाहीत.

   

   समीकरणांच्या उजव्या बाजू समान आहेत, परंतु डाव्या बाजू नाहीत. त्यामुळे, कोणतेही उपाय नाहीत.

सिस्टमचे मॅट्रिक्स नोटेशन

SLAE मॅट्रिक्स स्वरूपात प्रस्तुत केले जाऊ शकते:

AX = B

• A अज्ञातांच्या गुणांकाने बनवलेले मॅट्रिक्स आहे:

  

• X - व्हेरिएबल्सचा स्तंभ:

  

• B - मुक्त सदस्यांचा स्तंभ:

  

उदाहरण

आम्ही खालील समीकरणांची प्रणाली मॅट्रिक्स स्वरूपात दर्शवतो:

वरील फॉर्म वापरून, आम्ही गुणांकांसह मुख्य मॅट्रिक्स, अज्ञात आणि मुक्त सदस्यांसह स्तंभ तयार करतो.

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणांच्या दिलेल्या प्रणालीचे संपूर्ण रेकॉर्ड:

विस्तारित SLAE मॅट्रिक्स

प्रणालीच्या मॅट्रिक्समध्ये असल्यास A उजवीकडे विनामूल्य सदस्य स्तंभ जोडा B, उभ्या पट्टीने डेटा विभक्त केल्याने, तुम्हाला SLAE चे विस्तारित मॅट्रिक्स मिळेल.

वरील उदाहरणासाठी, हे असे दिसते:

- विस्तारित मॅट्रिक्सचे पदनाम.