फंक्शनची मर्यादा काय आहे

या प्रकाशनात, आम्ही गणितीय विश्लेषणाच्या मुख्य संकल्पनांपैकी एक - फंक्शनची मर्यादा: त्याची व्याख्या, तसेच व्यावहारिक उदाहरणांसह विविध उपायांचा विचार करू.

फंक्शनची मर्यादा निश्चित करणे

कार्य मर्यादा - या फंक्शनचे मूल्य ज्या मूल्याकडे झुकते तेव्हा त्याचा युक्तिवाद मर्यादित बिंदूकडे असतो.

मर्यादा रेकॉर्ड:

• मर्यादा चिन्हाद्वारे दर्शविली जाते लिम;
• फंक्शनचे वितर्क (व्हेरिएबल) कोणत्या मूल्याकडे झुकते ते खाली जोडले आहे. सहसा हे x, परंतु आवश्यक नाही, उदाहरणार्थ:x→1″;
• नंतर फंक्शन स्वतः उजवीकडे जोडले जाते, उदाहरणार्थ:

  

अशा प्रकारे, मर्यादेचे अंतिम रेकॉर्ड असे दिसते (आमच्या बाबतीत):

सारखे वाचते "x एकतेकडे झुकते म्हणून कार्याची मर्यादा".

x→ एक्सएनयूएमएक्स - याचा अर्थ असा आहे की "x" सातत्याने मूल्ये घेते जी अमर्यादपणे ऐक्याकडे जाते, परंतु त्याच्याशी कधीही जुळत नाही (ते गाठले जाणार नाही).

निर्णय मर्यादा

दिलेल्या क्रमांकासह

वरील मर्यादा सोडवू. हे करण्यासाठी, फंक्शनमध्ये फक्त युनिट बदला (कारण x→1):

अशा प्रकारे, मर्यादेचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम दिलेल्या संख्येला खाली फंक्शनमध्ये बदलण्याचा प्रयत्न करतो (जर x विशिष्ट संख्येकडे झुकत असेल).

अनंत सह

या प्रकरणात, फंक्शनचा युक्तिवाद अमर्यादपणे वाढतो, म्हणजे, "एक्स" अनंताकडे झुकते (∞). उदाहरणार्थ:

If x→∞, नंतर दिलेले फंक्शन वजा अनंताकडे झुकते (-∞), कारण:

• 3 - 1 = 2
• ४१ – ५० = -९
• ४१ – ५० = -९
• ३ – १००० – ९९७ इ.

आणखी एक जटिल उदाहरण

ही मर्यादा सोडवण्यासाठी, फक्त मूल्ये वाढवा x आणि या प्रकरणात फंक्शनचे "वर्तन" पहा.

• RџSЂRё x = 1, y = १५² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = १५² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = १५² + 3 · 100 – 6 = 10294

अशा प्रकारे, साठी "एक्स"अनंताकडे कल, कार्य x² + २x – ८ अनिश्चित काळासाठी वाढते.

अनिश्चिततेसह (x अनंताकडे झुकतो)

या प्रकरणात, आपण मर्यादांबद्दल बोलत आहोत, जेव्हा फंक्शन अपूर्णांक असतो, ज्याचा अंश आणि भाजक बहुपदी असतात. ज्यामध्ये "एक्स" अनंताकडे झुकते.

उदाहरण: खाली मर्यादा मोजू.

उपाय

अंश आणि भाजक या दोन्हीमधील अभिव्यक्ती अनंताकडे झुकतात. असे गृहीत धरले जाऊ शकते की या प्रकरणात उपाय खालीलप्रमाणे असेल:

तथापि, सर्व इतके सोपे नाही. मर्यादा सोडवण्यासाठी आम्हाला पुढील गोष्टी करण्याची आवश्यकता आहे:

1. शोधा x अंशासाठी सर्वोच्च शक्ती (आमच्या बाबतीत, ते दोन आहे).

2. त्याचप्रमाणे, आम्ही परिभाषित करतो x भाजकासाठी सर्वोच्च शक्तीपर्यंत (दोन देखील समान आहे).

3. आता आपण अंश आणि भाजक या दोघांना भागतो x वरिष्ठ पदवी मध्ये. आमच्या बाबतीत, दोन्ही प्रकरणांमध्ये - दुसऱ्यामध्ये, परंतु जर ते वेगळे असतील तर आपण सर्वोच्च पदवी घेतली पाहिजे.

4. परिणामी परिणामामध्ये, सर्व अपूर्णांक शून्याकडे झुकतात, म्हणून उत्तर 1/2 आहे.

अनिश्चिततेसह (x विशिष्ट संख्येकडे झुकतो)

अंश आणि भाजक दोन्ही बहुपदी आहेत, तथापि, "एक्स" विशिष्ट संख्येकडे झुकते, अनंताकडे नाही.

या प्रकरणात, आम्ही सशर्तपणे आपले डोळे बंद करतो की भाजक शून्य आहे.

उदाहरण: खाली फंक्शनची मर्यादा शोधू.

उपाय

1. प्रथम, फंक्शनमध्ये 1 क्रमांकाची जागा घेऊ "एक्स". आम्ही विचार करत असलेल्या फॉर्मची अनिश्चितता आम्हाला मिळते.

2. पुढे, आपण अंश आणि भाजक घटकांमध्ये विघटित करतो. हे करण्यासाठी, आपण संक्षिप्त गुणाकार सूत्र वापरू शकता, ते योग्य असल्यास, किंवा.

आमच्या बाबतीत, अंशातील अभिव्यक्तीची मुळे (2x² – ८x + १५ = ०) 1 आणि 1,5 संख्या आहेत. म्हणून, हे असे दर्शविले जाऊ शकते: 2(x-1)(x-1,5).

भाजक (x-1) सुरुवातीला सोपे आहे.

3. आम्हाला अशी सुधारित मर्यादा मिळते:

4. अंश कमी केला जाऊ शकतो (x-1):

5. मर्यादेच्या अंतर्गत प्राप्त झालेल्या अभिव्यक्तीमधील क्रमांक 1 च्या जागी फक्त हेच राहते: