वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन

या प्रकाशनात, आम्ही दोन सदिशांचे क्रॉस उत्पादन कसे शोधायचे, भूमितीय व्याख्या, बीजगणितीय सूत्र आणि या क्रियेचे गुणधर्म कसे शोधायचे याचा विचार करू आणि समस्या सोडवण्याच्या उदाहरणाचे विश्लेषण करू.

भौमितिक व्याख्या

दोन शून्य नसलेल्या सदिशांचे सदिश गुणाकार a и b वेक्टर आहे c, जे म्हणून दर्शविले जाते [a, b] or a x b.

वेक्टर लांबी c सदिश वापरून तयार केलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे a и b.

या प्रकरणात, c ते ज्या विमानात आहेत त्या विमानाला लंब a и b, आणि स्थित आहे जेणेकरून कमीतकमी रोटेशन पासून a к b घड्याळाच्या उलट दिशेने (वेक्टरच्या शेवटच्या दृष्टिकोनातून) केले गेले.

क्रॉस उत्पादन सूत्र

वेक्टरचे उत्पादन a = {अ_x; करण्यासाठी_y,_z} i b = {ब_x; बी_yबी_z} ची गणना खालील सूत्रांपैकी एक वापरून केली जाते:

क्रॉस उत्पादन गुणधर्म

1. दोन गैर-शून्य सदिशांचे क्रॉस गुणन शून्य असते आणि जर हे वेक्टर समरेषीय असतील तरच.

[a, b] = 0, तर a || b.

2. दोन सदिशांच्या क्रॉस गुणाकाराचे मॉड्यूल या सदिशांनी तयार केलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतके असते.

S_{समांतर} = |a x b|

3. दोन सदिशांनी तयार केलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्यांच्या सदिश उत्पादनाच्या निम्म्याएवढे असते.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. एक सदिश जो इतर दोन सदिशांचे क्रॉस गुण आहे त्यांच्यासाठी लंब असतो.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = –b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = मी (a x b)

(. (a + b) x c = a x c + b x c

समस्येचे उदाहरण

क्रॉस उत्पादनाची गणना करा a = {2; 4; ८} и b = {9; - दोन; २}.

निर्णय:

उत्तर: a x b = {19; 43; -42}.