फर्मॅटचे छोटे प्रमेय

या प्रकाशनात, आम्ही पूर्णांकांच्या सिद्धांतातील मुख्य प्रमेयांपैकी एकाचा विचार करू -  फर्मॅटचे छोटे प्रमेयफ्रेंच गणितज्ञ पियरे डी फर्मॅट यांच्या नावावरून हे नाव देण्यात आले. प्रस्तुत सामग्री एकत्रित करण्यासाठी आम्ही समस्येचे निराकरण करण्याच्या उदाहरणाचे देखील विश्लेषण करू.

प्रमेयाचे विधान

1. आरंभिक

If p अविभाज्य संख्या आहे a पूर्णांक आहे ज्याने भाग जात नाही pनंतर a^p-1 - 1 द्वारे विभाजित p.

हे औपचारिकपणे असे लिहिले आहे: a^p-1 ≡ १ (विरुद्ध p).

टीप: अविभाज्य संख्या ही एक नैसर्गिक संख्या आहे जी केवळ XNUMX ने भागता येते आणि स्वतःच उरलेली नसते.

उदाहरणार्थ:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – ३ = ८१ – ३ = ७८
• संख्या 15 द्वारे विभाजित 5 उर्वरित न करता.

2. पर्यायी

If p अविभाज्य संख्या आहे, a कोणताही पूर्णांक, नंतर a^p च्या तुलनेत a मॉड्यूल p.

a^p ≡ a (विरुद्ध p)

पुरावा शोधण्याचा इतिहास

पियरे डी फर्मॅटने 1640 मध्ये प्रमेय तयार केला, परंतु तो स्वतः सिद्ध केला नाही. नंतर, हे गोटफ्राइड विल्हेल्म लीबनिझ, जर्मन तत्वज्ञानी, तर्कशास्त्रज्ञ, गणितज्ञ इत्यादींनी केले. असे मानले जाते की त्याच्याकडे 1683 पर्यंत पुरावा होता, जरी तो कधीही प्रकाशित झाला नव्हता. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की लीबनिझने स्वतः प्रमेय शोधला, हे माहित नव्हते की ते आधीच तयार केले गेले होते.

प्रमेयाचा पहिला पुरावा 1736 मध्ये प्रकाशित झाला आणि तो स्विस, जर्मन आणि गणितज्ञ आणि मेकॅनिक, लिओनहार्ड यूलर यांचा आहे. फर्मॅटचे छोटे प्रमेय हे युलरच्या प्रमेयाचे विशेष प्रकरण आहे.

समस्येचे उदाहरण

एका संख्येचा उरलेला भाग शोधा 2¹² on 12.

उपाय

चला एका संख्येची कल्पना करूया 2¹² as ३.६३⋅१०¹¹.

11 एक अविभाज्य संख्या आहे, म्हणून, फर्मॅटच्या छोट्या प्रमेयाद्वारे आपल्याला मिळते:

2¹¹ ≡ १ (विरुद्ध 11).

म्हणूनच, ३.६३⋅१०¹¹ ≡ १ (विरुद्ध 11).

तर संख्या 2¹² द्वारे विभाजित 12 च्या समान उर्वरित सह 4.